Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA\bot \left( ABCD \right),SA=AC\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}.\) Do đó \(SA=2a\sqrt{2}.\) Do \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC.\) Do đó \(\Delta SAC\) là tam giác vuông cân. Gọi \(H\) là trung điểm của \(SC.\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\) Khi đó \(OH\) là đường trung bình của \(\Delta SAC.\) Do đó \(HO//SA.\) Kết hợp với \(SA\bot \left( ABCD \right)\) ta nhận được \(HO\bot \left( ABCD \right).\) Vì vậy \(HO\bot AC,\,HO\bot BD.\)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(\Delta HOA,\Delta HOB\) ta có \(H{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}.\)
Tương tự ta có \(HA=HB=HC=HD=HS.\) Vậy \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD.\)
Ta có \(AH=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2a.\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD\) là \(2a.\)
Chọn đáp án C.
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2022-2023
Trường THPT Hùng Vương