Gọi (S ) là tập hợp các số tự nhiên (n ) có 4 chữ số thỏa mãn \( {\mkern 1mu} {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\). Số phần tử của (S ) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\( {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n} \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n} \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \frac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\)
Xét hàm đặc trưng \( f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \in {N^ * }} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l} f'(x) = \frac{{\frac{{({2^x} + {3^x})'}}{{{2^x} + {3^x}}}.x - \ln ({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}}}\forall x \in N*\\ f'(x) = \frac{{({2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3)x - ({2^x} + {3^x}).\ln ({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in N*\\ f'(x) = \frac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}\ln ({2^x} + {3^x}) + {3^x}\ln 3.x - {3^x}.\ln ({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in N*\\ f'(x) = \frac{{{2^x}{\rm{[}}\ln {2^x} - \ln ({2^x} + {3^x}){\rm{]}} + {3^x}{\rm{[}}\ln {3^x} - \ln ({2^x} + {3^x}){\rm{]}}}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in N* \end{array}\)
Vì: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} < {2^x} + {3^x} \to \ln {2^x} < \ln ({2^x} + {3^x})\\ {3^x} < {2^x} + {3^x} \to \ln {3^x} < \ln ({2^x} + {3^x}) \end{array} \right. \to f'(x) < 0\forall x \in N*\)
⇒ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên N∗.
Lại có: f(n)<f(2020)⇔n>2020
Kết hợp điều kiện đề bài ta có 2020<n≤9999,n∈N∗
Vậy có \( \frac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979\) giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
