\(\begin{aligned} &\text { Biết } a=\log _{30} 10, b=\log _{30} 150 \text { và } \log _{2000} 15000=\frac{x_{1} a+y_{1} b+z_{1}}{x_{2} a+y_{2} b+z_{2}} \text { với } x_{1} ; \mathrm{y}_{1} ; \mathrm{z}_{1} ; x_{2} ; \mathrm{y}_{2} ; \mathrm{z}_{2} \text { là các số }\\ &\text { nguyên, tính } S=\frac{x_{1}}{x_{2}} \text { . } \end{aligned}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \log _{2000} 15000=\frac{\log _{30} 15000}{\log _{30} 2000}=\frac{\log _{30} 150+2 \log _{30} 10}{\log _{30} 2+3 \log _{30} 10} \text { (1) }\\ &\text { Ta có } a=\log _{30} 10=\log _{30} 5+\log _{30} 2 \Rightarrow \log _{30} 2=a-\log _{30} 5 \text { (2) }\\ &b=\log _{30} 150=1+\log _{30} 5 \Rightarrow \log _{30} 5=b-1 \text { thay vào }(2) \text { ta được } \log _{30} 2=a-b+1\\ &\text { Ta có } \log _{2000} 1500=\frac{b+2 a}{a-b+1+3 a}=\frac{2 a+b}{4 a-b+1}\\ &\text { Suy ra } S=\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \text { . } \end{aligned}\)
