Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn: \(ab + bc + ac = 3abc.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(K = \dfrac{{{a^2}}}{{c\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \)\(\,+ \dfrac{{{c^2}}}{{b\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}\,.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó \(\dfrac{{{a^2}}}{{c({c^2} + {a^2})}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {c^2}}}{{c({c^2} + {a^2})}}\)\(\, = \dfrac{1}{c} - \dfrac{c}{{{c^2} + {a^2}}}\mathop \ge \limits^{Cô-si} \dfrac{1}{c} - \dfrac{c}{{2\sqrt {{c^2}.\,\,{a^2}} }} \)\(\,= \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{{2a}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{c({c^2} + {a^2})}} \ge \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{{2a}}\)
Và tương tự ta có:
\(\dfrac{{{b^2}}}{{a({a^2} + {b^2})}} \ge \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{2b}}\)
\(\dfrac{{{c^2}}}{{c({c^2} + {b^2})}} \ge \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{{2c}}\)
\( \Rightarrow P \ge \left( {\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{{2a}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{2b}}} \right) \)\(\,+ \left( {\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{{2c}}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \)\(\,= \dfrac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} = \dfrac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \) GTNN của \(P\) là \(\dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).
Câu hỏi liên quan
-
Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là 12 cm, chiều cao là 10 cm. Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên một vỏ hộp như vậy (không tính phần mép nối).
-
Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km với vận tốc dự định. Khi từ B trở về A, ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc lúc đi là 5 km/giờ. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính vận tốc dự định của ô tô khi đi từ A đến B.
-
Lập phương trình nhận hai số \(3-\sqrt5\) và \(3+\sqrt5\) làm nghiệm.
-
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} -x-\sqrt{2} y=\sqrt{3} \\ \sqrt{2} x+2 y=-\sqrt{6} \end{array}\right.\) là:
-
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn(O). Biết ∠BOD = 124o thì số đo ∠BAD là:
-
Cho phương trình: 5x – 10y = 25. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho?
-
Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc
-
Trong hình bên, biết BC=8cm, OB=5cm.Độ dài AB bằng:
.png)
-
Phương trình 5x + 4y = 8 nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?
-
Xác đinh a và b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 \,;\,2} \right)\) và B(0 ; 2)
-
Xác đinh a và b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(-1 ; 3).
-
Phương trình \(2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0\) có nghiệm là:
-
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Biết ∠A = 50o , ∠B = 65o. Kẻ OH ⊥ AB; OI ⊥ AC; OK ⊥ BC. So sánh OH, OI, OK ta có:
-
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{4}{{x + 1}} = \dfrac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) là
-
Tìm các giá trị của m để phương trình \(x^2- mx + m^2- m - 3 = 0\) có hai nghiệm x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC tại A, biết độ dài cạnh huyền BC=2
-
Đường tròn tâm A có bán kính 3cm là tập hợp các điểm:
-
Tìm số dương m để phương trình \(2x-(m-2)^2y=5\) nhận cặp số (- 10; - 1) làm nghiệm.
-
Cho đường tròn (O; R) và điểm A bên ngoài đường tròn. Từ A xẽ tiếp tuyến AB( B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến (O). Trong các kết luận sau , kết luận nào đúng?
-
Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=3cm, AC=2cm, người ta quay tam giác ABC quanh quanh cạnh AC được hình nón, khi đó thể tích hình nón bằng:
-
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 120m2. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 5m và chiều cao tương ứng giảm đi 4m thì diện tích giảm 20m2
