Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Do M di chuyển trên đoạn AB và AM = x nên x ≥ 0 (xảy ra trường hợp bằng 0 khi M trùng A), lại có AM ≤ AB (dấu bằng xảy ra khi M trùng B) nên x ≤ 4, vậy điều kiện của x là 0 ≤ x ≤ 4.

Gọi S, S1, S2 lần lượt là diện tích hình tròn đường kính AB, AM và MB.

Đường tròn lớn có đường kính AB = 4 nên bán kính của hình tròn này là R = 2.

Diện tích hình tròn đường kính AB là S = πR² = π . 2² = 4π.  

Đường tròn đường kính AM = x có bán kính là \({r_1}\; = \frac{x}{2}\)

Diện tích hình tròn đường kính AM là \({S_1}\; = {\rm{ }}\pi r_1^2\; = \pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{4}\pi \)

Ta có: AM + MB = AB (do M nằm trên đoạn AB) ⇒ MB = AB – AM = 4 – x.

Đường tròn đường kính MB có bán kính là \({r_2} = \frac{{4 - x}}{2}\)

Diện tích hình tròn đường kính MB là \({S_2}\; = {\rm{ }}\pi r_2^2 = {\rm{ }}\pi .{\left( {\frac{{4 - x}}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}{\rm{ }}\pi \)

Tổng diện tích hai hình tròn đường kính AM và MB là:

\({S_{12}} = {\rm{ }}{S_{1\;}} + {\rm{ }}{S_2} = \frac{{{x^2}}}{4}\pi + \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi = \frac{{{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn (hình tròn đường kính AB) và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ (hình tròn đường kính AM và MB) là

\(S\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}S{\rm{ }}-{\rm{ }}{S_{12}}\; = 4\pi - \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)

Do diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay diện tích S(x) nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay \(S\left( x \right){\rm{ }} \le \frac{1}{2}{S_{12}}\)

Khi đó ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi }\\ { \Leftrightarrow - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}}\\ { \Leftrightarrow \; - 2{x^2}\; + 8x \le {x^2}\; - 4x + 8}\\ { \Leftrightarrow \;3{x^2}\; - 12x + 8 \ge 0} \end{array}\)

Xét tam thức f(x) = 3x² – 12x + 8 có ∆' = (– 6)² – 3 . 8 = 12 > 0 nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Mà hệ số af = 3 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(x):

Từ đó suy ra f(x) ≥ 0 với mọi \(x \in \left( { - 8;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + 8} \right)\)

Kết hợp với điều kiện 0 ≤ x ≤ 4.

Vậy \(x \in \left[ {0;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3};4} \right]\)