Xét các số phức z thỏa mãn \(|z|=2\). Số phức \(\mathrm{w}=z+3 i\) có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt
là m và M . Tổng M+m bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=x+y i \text { với } x, y \in \mathbb{R}\) .
Khi đó \(|z|=2 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=4\) .
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có \(M \in(O ; 2)\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét }|\mathrm{w}|=|z+3 i|=\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}\\ &\text { Goi } A(0 ;-3) \text { suy ra }|\mathrm{w}|=|z+3 i|=\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=A M \end{aligned}\).
Dễ thấy \(A O=3>2\) nên A nằm ngoài (O;2)
Kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn (O;2) tại BC, như hình vẽ.
\(\text { Có } A B \leq A M \leq A C \text { nên }\left\{\begin{array}{l} A M_{\max }=A C=A O+O C=3+2=5 \\ A M_{\min }=A B=A O-O B=3-2=1 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} M=5 \\ m=1 \end{array} \Rightarrow M+m=6\right.\right.\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + 1} \right)z – 3 = 4i\) có phần thực được viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\), với a,b là những số nguyên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân thức tối giản. Tính T = a + b.
-
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-6 z+11=0\) . Giá trị của biểu thức \(\left|3 z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\) bằng
-
Cho số phức \(z=a+b i \text { thỏa mãn }(z-8) i+z-6 i=5+5 i\) . Giá trị của a + b bằng
-
Cho số phức \(z_1,z_2,z_3\) thỏa mãn \(|z_1|=|z_2|=|z_3|=1\) và \(z _1+ z _2+ z _3= 0\) Tính \(A = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\)
-
Cho \(z = {\left( {1 + i} \right)^{2017}}\). Tìm z
-
Tính mô đun của số phức z biết \((1+2 i) z^{2}=3+4 i\)
-
Cho số phức \(z = \frac{{7 - 11i}}{{2 - i}}\) . Tìm phần thực và phần ảo của z .
-
Cho các số phức \({z_1}, {z_2}, {z_3}\) thỏa mãn 2 điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017\) và \({z_1} + {z_2} + {z_3} \ne 0.\) Tính \(P = \left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|.\)
-
Tính : \( {\left( {3 - 4i} \right)^2}\)
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tính \({(1 + 2i)^3}\)
-
Cho hai số phức z = i. Tìm số phức w = z5.
-
Cho \(z=x+y i \text { thỏa mãn }|z+3 i|=|z+2-i| \text { và } z\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(x-2 y\)
-
Cho số phức z thỏa mãn:\((1+ 2z)(3 + 4i) + 5 + 6i = 0 \). Tìm số phức \(w = 1+ z\)
-
Số phức \(z = (1+ 2i )(2 - 3i )\)bằng
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(2(\bar{z}+1)+z-1=(1-i)|z|^{2} \text { và }|z|<1\)
-
Nếu hai số thực x,y thỏa mãn \(x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i\) thì x – y bằng?
-
Kí hiệu \(z_{1}, z_{2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-3 z+5=0\) . Giá trị của \(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| {z – 1} \right|^2} + \left| {z – \overline z } \right|i + \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = 1\)?
-
Cho số phức \(z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}\) . Khi đó
