Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {\frac{{\left( {1 + i} \right)z}}{{1 – i}} + 2} \right| = \sqrt 3 \), gọi \({z_1}\) là số phức có số phức z có môđun nhỏ nhất và \({z_2}\) là số phức có môđun lớn nhất. Tìm số phức \({z_1} + {z_2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có : \(\left| {\frac{{\left( {1 + i} \right)z}}{{1 – i}} + 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {i\left( {x + yi} \right) + 2} \right| = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \left| {\left( {2 – y} \right) + xi} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 3\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y – 2}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 1\)
Đặt \(x = \sqrt 3 \sin \alpha ,y = 2 + \sqrt 3 \cos \alpha \) thì tìm được \(\left| z \right|\) lớn nhất khi \(z = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)i\) và \(\left| z \right|\) nhỏ nhất khi \(z = \left( {2 – \sqrt 3 } \right)i\)
Vậy \({z_1} + {z_2} = 4i\)
