Cho \(z_{1}=1+\sqrt{3} i ; z_{2}=\frac{7+i}{4-3 i} ; z_{3}=1-i\) . Tìm dạng đại số của \(w=z_{1}^{25} \cdot z_{2}^{10} \cdot z_{3}^{2016}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} {z_1} = 1 + \sqrt 3 i;{z_2} = \frac{{7 + i}}{{4 - 3i}};{z_3} = {(1 - i)^{2016}}\\ {z_1} = 1 + z_2^{10}\sqrt 3 i = 2.\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2.\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow z_1^{25} = {2^{25}}\left( {\cos \frac{{25\pi }}{3} + i\sin \frac{{25\pi }}{3}} \right) = {2^{25}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = {2^{24}} + {2^{24}}.\sqrt 3 i\\ {z_2} = \frac{{7 + i}}{{4 - 3i}} = \left( {1 + i} \right) \Rightarrow z_2^{10} = {\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32i = {2^5}i\\ {z_3} = 1 - i \Rightarrow z_3^{2016} = {(1 - i)^{2016}} = {\left( { - 2i} \right)^{1008}} = {2^{1008}}\\ \Rightarrow w = z_1^{25} \cdot z_2^{10} \cdot z_3^{2016} = \left( {{2^{24}} + {2^{24}}.\sqrt 3 i} \right){.2^5}.i.{\left( {{2^{1008}}} \right)^{2016}} = \left( {{2^{29}}i + {2^{29}}\sqrt 3 .{i^2}} \right){.2^{1008}} = - {2^{1037}}\sqrt 3 + {2^{1037}}i \end{array}\)
