Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C’) và (C).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\)
Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT.
\(\Delta\) có phương trình :
\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)
Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2;1} \right)\)
Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3;0).\)
Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2.
Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)
Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = 3,y = 2.\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).
