Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có VTPT là \(\vec n(4;3)\)
Vì tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 nên nhận \(\vec n(4;3)\) làm VTPT. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) có dạng: 4x + 3y + c = 0.
Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là: \(d\left( {I;{\rm{ }}\Delta } \right){\rm{ }} = \frac{{|4.1 + 3.2 + c|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{|c + 10|}}{5}\)
Do ∆ là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng đúng bán kính của đường tròn nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l} \frac{{|c + 10|}}{5} = 5\\ \Leftrightarrow |c + 10| = 25\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c + 10 = 25\\ c + 10 = - 25 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 15\\ c = - 35 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 là: 4x + 3y + 15 = 0 và 4x + 3y – 35 = 0.