Tính giới hạn \(A=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}}{x^{2}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt } \mathrm{t}=\sqrt[3]{3 \mathrm{x}+1} \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{t}^{3}-1}{3} \text { và } \mathrm{x} \rightarrow 0 \Leftrightarrow \mathrm{t} \rightarrow 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} A = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\sqrt {1 + \frac{{{t^3} - 1}}{3}} - t}}{{{{\left( {\frac{{{t^3} - 1}}{3}} \right)}^2}}} = 9\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\sqrt {\frac{{{t^3} + 2}}{3}} - t}}{{{{(t - 1)}^2}{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 3\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{t^3} - 3{t^2} + 2}}{{{{(t - 1)}^2}{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {\frac{{{t^3} + 2}}{3}} + t} \right)}}\\ = 3\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{{(t - 1)}^2}(t + 2)}}{{{{(t - 1)}^2}{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {\frac{{{t^3} + 2}}{3}} + t} \right)}} = {{\mathop{\rm llim}\nolimits} _{t \to 1}}\frac{{t + 2}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {\frac{{{t^3} + 2}}{3}} + t} \right)}} = \frac{1}{2}. \end{array}\)
