\(\text { Tính giới hạn } B=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-5 \sin 2 x+\cos ^{2} x}{x^{2}+2} \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } B=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-5 \sin 2 x+\cos ^{2} x}{x^{2}+2}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x+1-10 \sin 2 x+\cos 2 x}{2 x^{2}+4}\\ &=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x+1}{2 x^{2}+4}+\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-10^{2} \sin 2 x+\cos 2 x}{2 x^{2}+4}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-10^{2} \sin 2 x+\cos 2 x}{2 x^{2}+4}\\ &\text { Mặt khác, } 0 \leq\left|\frac{-10 \sin 2 x+\cos 2 x}{2 x^{2}+4}\right| \leq \frac{\sqrt{\left(10^{2}+1^{2}\right)\left(\sin ^{2} 2 x+\cos ^{2} 2 x\right)}}{2 x^{2}+4}=\frac{\sqrt{101}}{2 x^{2}+4}, \forall x\\ &\text { Mà } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{101}}{2 x^{2}+4}=0 \text { nên } B=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-10 \sin 2 x+\cos 2 x}{2 x^{2}+4}=0 \end{aligned}\)
