Tính giới hạn \(A=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin ^{2} x}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(A=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-1}{x^{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt[3]{\cos x}}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ Mà : }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {\cos x} + 1}} = - \frac{1}{4}}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}} + \sqrt[3]{{\cos x}} + 1}} = \frac{1}{6}} \end{array}\)
\(\text { Do đó: } A=-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{12} \text { . }\)
