Tính giới hạn của \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\lim \frac{\sqrt{1+2+\ldots+\mathrm{n}}-\mathrm{n}}{\sqrt[3]{1^{2}+2^{2}+\ldots+\mathrm{n}^{2}}+2 \mathrm{n}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } 1+2+\ldots+\mathrm{n}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} \text { và } 1^{2}+2^{2}+\ldots+\mathrm{n}^{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)}{6}\)
\(\begin{array}{l}
\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + \ldots + {\rm{n}}} - {\rm{n}}}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + \ldots + {{\rm{n}}^2}}} + 2{\rm{n}}}} = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{\rm{n}}({\rm{n}} + 1)}}{2}} - n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}} = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}}}{2} + \frac{n}{2}} - n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}}} + 2n}}\\
= \lim \frac{{n\left( {\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{2n}}} - 1} \right)}}{{n\left( {\sqrt[3]{{\frac{2}{6} + \frac{3}{{6n}} + \frac{1}{{6{n^2}}}}} + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} - 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}
\end{array}\)
