Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {{x^2} - 2x + m} \right|$ trên đoạn [-1; 2] bằng 5.

A. - 4

B. 2

C. 0

D. - 2

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Báo sai

+ Xét hàm số f(x) = x²- 2x trên đoạn [ -1; 2],

+ Ta có đạo hàm f’(x) = 2( x-1) và f’( x) = 0 khi x = 1

Vậy:

$\begin{array}{l}
\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1,2} \right]} \; = \;\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1,2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|\\
= \max \left\{ {\left| {f\left( { - 1} \right)} \right|;\left| {f\left( 1 \right)} \right|;\left| {f\left( 2 \right)} \right|} \right\}\\
= \max \left\{ {\left| {3 + m} \right|;\left| {m - 1} \right|;\left| m \right|} \right\}
\end{array}$

TH1: Với $\underset{[- 1, 2]}{m a x} = | m - 1 |$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {m - 1} \right|\; \ge \left| {m + 3} \right|}\\
{\left| {m - 1} \right|\; \ge \left| m \right|}\\
{\left| {m - 1} \right|\; = \;5}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|}\\
{\left| {m - 1} \right|\; \ge \left| m \right|}\\
{m\; = \; - 4\; \vee \;m\; = \;6}
\end{array}} \right.} \right.$

TH2: Với $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1,2} \right]\;} y\; = \;\left| {m + 3} \right|\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {m + 3\left| {\; \ge } \right|m - 1} \right|}\\
{\left| {m + 3} \right|\; \ge \left| m \right|}\\
{\left| {m + 3} \right|\; \ge 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {m + 3\left| {\;\; \ge } \right|\;} \right|m - 1|}\\
{\left| {m + 3} \right|\; \ge \left| m \right|}\\
{m\; = \;2\; \vee \;m\; = \; - 8}
\end{array}} \right.$

TH3: Với $\mathop {max\;\;}\limits_{\left[ { - 1,2} \right]\;\;\;} y\; = \;\left| m \right|\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| m \right| \ge \left| {m - 1} \right|}\\
{\left| m \right| \ge \left| {m + 3} \right|}\\
{\left| m \right|\; = \;5}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| m \right|\; \ge \left| {m - 1} \right|}\\
{\left| m \right| \ge \left| {m + 3} \right|}\\
{m\; = \;5\; \vee \;m\; = \; - 5}
\end{array}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ (vô nghiệm)