Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số un với \( {u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} \) có giới hạn hữu hạn.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét a ≤ 0 thì \( \mathop {\lim }\limits_{} {u_n} \ge \lim \sqrt {2{n^2} + n} = + \infty \), dãy số không có giới hạn hữu hạn.
Xét 0a>0 , ta có:
\(\begin{array}{l} {u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} = \frac{{\left( {\sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)\left( {\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \frac{{2{n^2} + n - {a^2}\left( {2{n^2} - n} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ \to lim{u_n} = lim\frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = lim\frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2 + \frac{1}{n}} + a\sqrt {2 - \frac{1}{n}} }} \end{array}\)
⇒ Hàm giới hạn đã cho là giới hạn hữu hạn thì 1−a2=0⇔a=1(a>0)
Chọn D.
