Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng \(x^3 - 3mx^2 + 2m(m - 4)x + 9m^2- m = 0 ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \( {x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = 3m\)
Vì \(x_1,x_2,x_3\) lập thành một cấp số cộng nên \( {x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\)
Thay x2=m vào phương trình ban đầu ta được
\(\begin{array}{l} {m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}(m - 4) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Thử lại:
Khi m=0 , phương trình trở thành x3=0⇔x=0, phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Khi m=1 , phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 1\\ x = 4 \end{array} \right.\). Dễ thấy −2,1,4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d=3.
Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
