Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\) có nghiệm thực trong đoạn \(\left[ \frac{5}{4};4 \right]\):
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x>2\).
\(\begin{array}{l} \left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right){\log _2}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\left( * \right) \end{array}\)
Đặt \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right)=t\).
\(x\in \left[ \frac{5}{4};4 \right]\Rightarrow 0\le x-2\le 2\)(Kết hợp với điều kiện). Vậy \(t\le 1\).
Phương trình (*) có dạng: \(\Leftrightarrow 4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4=0\left( ** \right)\)
Ta cần tìm \(m\)sao cho PT (**) có nghiệm thỏa mãn \(t\le 1\).
\(\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\).
Đặt \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\); \({f}'\left( t \right)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\).
Lập bảng biến thiên ta có
.png)
