Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau \( y = \frac{{2{{\sin }^2}2x + 3\sin 4x}}{{2{{\cos }^2}2x - \sin 4x + 2}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} {\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\\ 2{\cos ^2}2x = 1 + \cos 4x\\ \to y = \frac{{\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + 3\sin 4x}}{{1 + \cos 4x - \sin 4x + 2}}\\ \Leftrightarrow y = \frac{{1 + 6.\sin 4x - \cos 4x}}{{2.\cos 4x - 2.\sin 4x + 6}} \Leftrightarrow 2y.\cos 4x - 2y.\sin 4x + 6y = 1 + 6.\sin 4x - \cos 4x\\ \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right).\cos 4x - \left( {2y + 6} \right).\sin 4x = 1 - 6y(*) \end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
\( {\left[ {\left( {2y + 1} \right).\cos 4x - \left( {2y + 6} \right).\sin 4x} \right]^2} \le {\left( {2y + 1} \right)^2} + {\left( {2y + 6} \right)^2}\)
Kết hợp với (*), ta được \( {\left( {1 - 6y} \right)^2} \le {\left( {2y + 1} \right)^2} + {\left( {2y + 6} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{5 - 2\sqrt {22} }}{7} \le y \le \frac{{5 + 2\sqrt {22} }}{7}\)
