Tìm \(I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt: } T=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x\\ &\Rightarrow I+T=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x+\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x\\ &=\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x=x+C_{1} \text{ (1)} \end{aligned}\)
ta lại có:
\(\begin{aligned} &I-T=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x-\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\\ &\Leftrightarrow I-T=-\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=-\ln |\sin x+\cos x|+C_{2} \end{aligned} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)\(\operatorname{Tư}(1) ;(2) \text { ta có hệ: }\left\{\begin{array}{l} I+T=x+C_{1} \\ I-T=-\ln |\sin x+\cos x|+C_{2} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} I=\frac{1}{2}(x-\ln |\sin x+\cos x|)+C \\ T=\frac{1}{2}(x+\ln |\sin x+\cos x|)+C \end{array}\right.\right.\)
