Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm\(N\left(2 ;-\frac{5}{3}\right)\)và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Gọi phương trình chính tắc của elip là }(E): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \text { với } a>b>0 \text { . }\)
\(\text { Elip đi qua điểm } N\left(2 ;-\frac{5}{3}\right) \text { suy ra } \frac{2^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow \frac{4}{a^{2}}+\frac{25}{9 b^{2}}=1\)
\(\text { Tì số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng } \frac{2}{3} \text { suy ra } \frac{2 c}{2 a}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow c^{2}=\frac{4}{0} a^{2} \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { Kết hợp với điều kiện } b^{2}=a^{2}-c^{2}, \text { ta được } b^{2}=a^{2}-\frac{4}{9} a^{2}=\frac{5}{9} a^{2} \Leftrightarrow 9 b^{2}=5 a^{2}\\ &\text { Từ }(1),(2) \text { suy ra }\left\{\begin{array} { l } { \frac { 4 } { a ^ { 2 } } + \frac { 2 5 } { 9 b ^ { 2 } } = 1 } \\ { 9 b ^ { 2 } = 5 a ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { \frac { 4 } { a ^ { 2 } } + \frac { 2 5 } { 5 a ^ { 2 } } = 1 } \\ { 9 b ^ { 2 } = 5 a ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { \frac { 9 } { a ^ { 2 } } = 1 } \\ { 9 b ^ { 2 } = 5 a ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a^{2}=9 \\ b^{2}=5 \end{array}\right.\right.\right.\right. \text { . }\\ &\text { Vậy phương trình cần tìm là }(E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1 . \end{aligned}\)
