Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHypebol (H) có \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\) và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).
Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a{\rm{ }} > {\rm{ }}b{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right).\)
Theo đề bài ta có:
+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)
⇒ c = 10 ⇒ a2 − b2 = c2=100 (1).
+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M(8;6) \in (E)\\ \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{64}}{{{a^2}}} + \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1(2) \end{array}\)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l} \frac{{64}}{{{a^2}}} + \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{64{b^2} + 36({b^2} + 100)}}{{({b^2} + 100){b^2}}} = 1\\ \Rightarrow 64{b^2} + 36({b^2} + 100) = ({b^2} + 100){b^2}\\ \Rightarrow 100{b^2} + 3600 = {b^4} + 100{b^2} \Rightarrow {b^4} = 3600 \Rightarrow {b^2} = 60;{a^2} = 160 \end{array}\)
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho elip với \((E): \frac{x^{2}}{p^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 \text { với } p>q>0\), khi đó tiêu cự của elip bằng
-
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng \(4\sqrt 3 \).
-
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có đỉnh A2(3;0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là: \( (C):{x^2} + {y^2} = 16\)
-
Tọa độ các tiêu điểm của phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} = 1\) là:
-
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng bao nhiêu?
-
Phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn đường chuẩn có phương trình \(x = - \frac{1}{6}\)
-
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
-
Với những giá trị nào của m thì đường thẳng \( \Delta: 3 x+4 y+3=0\) tiếp xúc với đường tròn \(\text { (C): }(x-m)^{2}+y^{2}=9\)
-
Phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8:
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\),đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}y{\rm{ }} + \frac{1}{2} = 0\) và điểm M(x; y). Hệ thức giữa x và y là:
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 = 2px (p > 0) (Hình 20).
.png)
Độ dài đoạn thẳng MK; MF là:
-
Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F(-3;0)\). Phương trình chính tắc của elip là gì?
-
Elip có độ dài trục nhỏ là \(4\sqrt 6 \) và có một tiêu điểm F(5;0). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2\sqrt3\) và đi qua A(2;1).
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua A(5;0).
-
Đường nào dưới đây là phương trình đường chuẩn của elip \(\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{15}=1 ?\)
-
Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết trục lớn 2a=8, trục bé 2b=6.
-
Viết phương trình chính tắc của hypebol, đỉnh là A2(4; 0) và tiêu cự bằng 10:
-
Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{\sqrt5}3\). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
