Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(N\left( {2; - \frac{5}{3}} \right)\) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac23\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip đi qua điểm \(N\left( {2; - \frac{5}{3}} \right)\) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{2c}}{{2a}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}{a^2}.\)
Kết hợp với điều kiện \({b^2} = {a^2} - {c^2},\) ta được \({b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2} \Leftrightarrow 9{b^2} = 5{a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{5{a^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{{{a^2}}} = 1\\ 9{b^2} = 5{a^2} \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 9\\ {b^2} = 5 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm là F2(5; 0) là:
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1\) . Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng
-
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d – l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a). Đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để đầu bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường H (Hình 6c). Tính MF2 – MF1
-
Phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng \(4\sqrt 3 \) là
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc y2 = 2px (p > 0) (Hình 19).
.png)
Toạ độ tiêu điểm F của parabol (P) bằng:
-
Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn \(\text { (C): } x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0\) và đường thẳng \(\Delta:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=2+2 t \end{array}\right.\)?
-
Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.
.png)
Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.
-
Cho hypebol \( (H):{\mkern 1mu} \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Lập công thức tính góc phi tạo bởi 2 đường tiệm cận của (H).
-
Cho elip \((E): \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\). Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip
-
Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{11}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)
-
Cho elip ((E):x2 + 4y2 - 40 = 0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
-
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tâm sai \( e = \frac{5}{3}\) và diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích.
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2 \sqrt{3}\) và đi qua A(2;1).
-
Cho elip \( \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng Δ: y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến Δ bằng giá trị nào sau đây?
-
Cho (P) : y2 = 8x. Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6?
-
Tọa độ các tiêu điểm của phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1\)
-
Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m và 10m. Phương trình chính tắc của elip đó là:
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1\) có độ dài trục bé bằng:
-
Elip có hai đỉnh là (-3;0) ;( 3;0 ) và có hai tiêu điểm là (-1;0 ); (1;0 ). Phương trình chính tắc của elip là:
-
Trong hệ trục Oxy, cho Elip (E) có các tiêu điểm \(F_{1}(-4 ; 0), F_{2}(4 ; 0)\) và một điểm M nằm trên (E) . Biết rằng chu vi của tam giác \(M F_{1} F_{2}\) bằng 18. Xác định tâm sai e của (E).
