Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(A\left( {2;\sqrt 3 } \right)\) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip đi qua điểm \(A\left( {2;\sqrt 3 } \right)\) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) suy ra \(\frac{{2a}}{{2c}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {c^2} = \frac{3}{4}{a^2}.\)
Kết hợp với điều kiện \({b^2} = {a^2} - {c^2},\) ta được \({b^2} = {a^2} - \frac{3}{4}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 4{b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\\ {a^2} = 4{b^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{4{b^2}}} + \frac{3}{{{b^2}}} = 1\\ {a^2} = 4{b^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{{b^2}}} = 1\\ {a^2} = 4{b^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 16\\ {b^2} = 4 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2 \sqrt{3}\) và đi qua A(2;1).
-
Cho Elip (E) đi qua điểm \(A(-3 ; 0)\) và có tâm sai \(e=\frac{5}{6}\) . Tiêu cự của (E) là
-
Tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) lần lượt là:
-
Tọa độ các tiêu điểm của phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = 1\)
-
Phương trình chính tắc của các đường conic (C1): 4x2 + 16y2 = 1
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) có tiêu cự bằng:
-
Cho elip \(\left( E \right):{x^2} + 4{y^2} = 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1.\) Tìm trên (E) điểm M sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\) , trong đó \({F_1},{F_2}\) lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.
-
Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\dfrac{9}{5}} \right)\) và \(N\left( {3;\dfrac{{12}}{5}} \right)\).
-
Cho hypebol (H) (Hình 15). Phương trình hai đường thẳng PR và QS lần lượt là:
.png)
-
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) ) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
-
Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:
-
Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) biết (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)
-
Cho (E) có hai tiêu điểm F1( - 4;0),F2 (4;0) và điểm (M ) thuộc ( E ). Biết chu vi tam giác MF1F2 bằng 18. Khi đó tâm sai của (E) bằng
-
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \,2;0} \right),\,\,{F_2}\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm là:
-
Cho điểm M(2;3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc:\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\). Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E)?
-
Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
-
Cho hypebol (H) có một đỉnh là A1(–4; 0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H).
-
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tâm sai \( e = \frac{5}{3}\) và diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích.
-
Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng \(2\sqrt3\) và đi qua A(2;1).
