Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{2} \cos 2 x+4 \sin x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{3 \pi}{4}\right]\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[0 ; \frac{3 \pi}{4}\right]\)
\(\begin{array}{l} y^{\prime}=-2 \sqrt{2} \sin 2 x+4 \cos x=-4 \cos x(\sqrt{2} \sin x-1) \\ y^{\prime}=0 \Leftrightarrow-4 \cos x(\sqrt{2} \sin x-1)=0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cos x=0 \\ \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi ; x=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.\)
Do \(x \in\left[0 ; \frac{3 \pi}{4}\right] \text { nên } x=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{4} ; x=\frac{3 \pi}{4}\)
\(y(0)=\sqrt{2} ; \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2} ; \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=4-\sqrt{2} ; \quad y\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}\)
Vậy \(\max\limits_{[0 ; \frac{3 \pi}{4}]} y=2 \sqrt{2} \text { khi } x=\frac{\pi}{4} \text { hoăc } x=\frac{3 \pi}{4} ; \min\limits _{[0 ; \frac{3 \pi}{4}]} y=\sqrt{2} \text { khi } x=0\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^2-4x}{2x+1}\)trên đoạn [0;3]
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{4}-2 x^{2}+1\) trên đoạn [0;2] là
-
Hàm số \(y=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất lần lượt tại hai điểm có hoành độ:
-
Xét hàm số \(y = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\), với a,b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { – 1;3} \right]\). Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b.
-
Có một giá trị \({m_0}\) của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4] là:
-
Hàm số \(y=\frac{1}{x^{2}+1}\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ?
-
Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + 2m – 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là nhỏ nhất thì giá trị của m thuộc
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 5}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 2;1} \right]\)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^2-5}{x+3}\)trên đoạn [0;2]
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x-1}{x+1}\) trên đoạn [0;3] là:
-
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) trên khoảng (0; 4) đạt được
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-2 x+3}{x-1}\) trên đoạn [2;4] là:
-
Cho hàm số \(y=|3 \cos x-4 \sin x+8|\) với \(x \in[0 ; 2 \pi]\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x-1}\) trên khoảng \((1 ;+\infty)\) là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-x-1\right)\) trên đoạn [0;2] là
-
Hàm số \(y = \sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x-2}\) trên khoảng \((-\infty ; 2)\)
-
Hàm số \(y=x^{2}+3 x+\sqrt{x^{2}+3 x+2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x-1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) là
