Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{{x^3} + 1}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} y = \frac{{\cos x}}{{{x^3} + 1}}\\ \Rightarrow y' = \frac{{\left( {\cos x} \right)'\left( {{x^3} + 1} \right) - \cos x\left( {{x^3} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \sin x}}{{{x^3} + 1}} - \frac{{3{x^2}\cos x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \frac{{\left( { - \sin x} \right)'\left( {{x^3} + 1} \right) + \sin x\left( {{x^3} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {3{x^2}\cos x} \right)'{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2} - 3{x^2}\cos x\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^4}}}\\ = \frac{{ - \cos x\left( {{x^3} + 1} \right) + 3x\sin x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {6x\cos x - 3{x^2}\sin x} \right){{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2} - 3{x^2}\cos x2.3{x^2}\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^4}}}\\ = \frac{{ - \cos x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{3x\sin x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{6x\cos x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{3{x^2}\sin x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{18{x^4}\cos x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^3}}}\\ = \left( { - \frac{1}{{{x^3} + 1}} - \frac{{6x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{18{x^4}}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^3}}}} \right)\cos x + \frac{{3{x^2}\sin x}}{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
