Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm trên R.
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x + 1{\rm{ }}\,\,\,\,{\rm{ \ khi \ }}x \le 1\\ - {x^2} + ax + b{\rm{ \ khi \ }}x > 1 \end{array} \right.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên R ⇔ hàm số có đạo hàm tại x = 1.
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b - 1\)
Hàm số liên tục trên R
\( \Leftrightarrow a + b - 1 = 1 \\ \Leftrightarrow a + b = 2\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = 1;{\rm{ }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - {x^2} + ax + 1 - a}}{{x - 1}} = a - 2\)
Nên hàm số có đạo hàm trên R thì
\(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ a - 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = - 1 \end{array} \right.\)
