Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} 2{\sin ^2}\;\frac{x}{2}dx$ bằng:

Tích phân $I=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}+a x+2\right) d x$ có giá trị là:

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường$y=\ln (x+1)$ , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
 

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f^{\prime}(x)+2 f(x)=0$ . Biết$f(1)=1, \text { tính } f(-1)$
 

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường $y=e^{x}, y=0, x=0, x=\ln 8$. Đường thẳng $x=k(0<k<\ln 8)$ chia (H ) thành hai phần có diện tích là $S_{1}\, và\, S_{2}$. Tìm k để $S_{1}=S_{2}$

Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}$ và $f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0$. Tính giá trị biểu thức $T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)$.

Nếu $\begin{equation} \int_{-1}^{4}[5 f(x)-3] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{-1}^{4} f x \mathrm{~d} x \text { bằng } \end{equation}$

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị $y=(2 x-1) \sqrt{\ln x}$ , trục hoành và đường thẳng x = e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức
 

Tích phân $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaac6cacaqGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaGa % amiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaqdcqGHRi % I8aaaa!4212! I = \int\limits_0^2 {x.{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x}$ là 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x), ∀ x ∈ [a;b]. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x), x = a; x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

$\text { Nếu } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \text { và } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7$$\text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }$

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^{2}+x-2, y=x+2$và hai đường thẳng $x=-2 ; x=3$. Diện tích của (H) bằng

Tích phân $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x) d x$ 1có giá trị là:

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Tính $\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy$

Số nghiệm nguyên âm của phương trình $x^{3}-a x+2=0 \text { với } a=\int_{1}^{3 e} \frac{1}{x} d x$ là:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị$y=x^{2}-4 x+6 \text { và } y=-x^{2}-2 x+6$

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = $\sqrt {x\left( {{3^x} + 1} \right)}$ trục hoành và x = 1 xung quanh trục hoành.

Giá trị tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+1\right) \cos x d x$ là