Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} \le {x^2} – 2x\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định \(x \ge 0\).
Ta có: \({3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} \le {x^2} – 2x \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x} + 1}} + 2x \le {3^{x + 1}} + {x^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^{t + 1}} + {t^2}\) với \(t \ge 0\).
Ta có \(f’\left( t \right) = {3^{t + 1}}.\ln 3 + 2t \ge 0,\,\,\forall t \ge 0.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Suy ra \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {2x} } \right) \le f\left( x \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x} \le x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0\) ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}\).
