Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn \(\left( {{2^{x + 1}} – \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = {2^x} > 0\) thì ta có bất phương trình \((2t – \sqrt 2 )(t – y) < 0\) hay \((t – \frac{{\sqrt 2 }}{2})(t – y) < 0{\rm{ }}(*).\)
Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y > \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), do đó \((*) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < t < y \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < {2^x} < y \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < x < {\log _2}y.\)
Nếu \({\log _2}y > 10\) thì \(x \in \{ 0,\,\,1,\,\,2,\,\, \ldots ,\,\,10\} \) đều là nghiệm nên không thỏa yêu vầu bài toán. Suy ra \({\log _2}y \le 10\) hay \(y \le {2^{10}} = 1024\), mà \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y \in \{ 1,\,\,2,\,\, \ldots ,\,\,1024\} .\)
