Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \(m{.4^{{x^2} – 2x – 1}} – \left( {1 – 2m} \right){.10^{{x^2} – 2x – 1}} + m{.25^{{x^2} – 2x – 1}} \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\,2} \right]\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(m{.4^{{x^2} – 2x – 1}} – \left( {1 – 2m} \right){.10^{{x^2} – 2x – 1}} + m{.25^{{x^2} – 2x – 1}} \le 0,\,\forall x \in \left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]\)
\( \Leftrightarrow m – \left( {1 – 2m} \right).{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x – 1}} + m.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2\left( {{x^2} – 2x – 1} \right)}} \le 0,\,\forall x \in \left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x – 1}}\, \Rightarrow t'(x) = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x – 1}}\,.\ln \left( {\frac{5}{2}} \right).\left( {2x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Từ bảng biến thiên ta có \(t \in \left[ {\frac{4}{{25}}\,;\,\frac{2}{5}} \right]\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m – \left( {1 – 2m} \right).t + m.{t^2} \le 0,\,\forall t \in \left[ {\frac{4}{{25}}\,;\,\frac{2}{5}} \right] \Leftrightarrow m \le \frac{t}{{{t^2} + 2t + 1}},\,\forall t \in \left[ {\frac{4}{{25}}\,;\,\frac{2}{5}} \right]\)
\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{{25}};\,\frac{2}{5}} \right]} \frac{t}{{{t^2} + 2t + 1}}\) (*)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 2t + 1}},t \in \left[ {\frac{4}{{25}};\,\frac{2}{5}} \right]\)
\(f’\left( t \right) = \frac{{ – {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)}^2}}}, f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – {t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\,\left( l \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\)
Ta có \(f\left( {\frac{4}{{25}}} \right) = \frac{{100}}{{841}}, f\left( {\frac{2}{5}} \right) = \frac{{10}}{{49}} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{{25}};\,\frac{2}{5}} \right]} f\left( t \right) = \frac{{100}}{{841}}\)
(*)\( \Leftrightarrow m \le \frac{{100}}{{841}}\).
Vậy \(m \le \frac{{100}}{{841}}\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\,2} \right]\).
