Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2} – x}} – 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} – m} \right) \le 0\) có 5 nghiệm nguyên?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( {{3^{{x^2} – x}} – 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} – m} \right) \le 0\) (1)
Trường hợp 1: Xét \({3^{{x^2} – x}} – 9 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – x \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le – 1\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Khi đó, \((1) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{{x^2} \le {{\log }_2}m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{ – \sqrt {{{\log }_2}m} \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m} }\end{array}} \right.\)
Nếu m < 1 thì vô nghiệm.
Nếu \(m \ge 1\) thì \((2) \Leftrightarrow – \sqrt {{{\log }_2}m} \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m} \).
Do đó, để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên thì tập hợp \(\left( {\left( { – \infty \,; – 1} \right] \cup \left[ {2\,; + \infty } \right)} \right) \cap \left[ { – \sqrt {{{\log }_2}m} \,;\,\,\sqrt {{{\log }_2}m} } \right]\) có 5 giá trị nguyên
\( \Leftrightarrow 3 \le \sqrt {{{\log }_2}m} < 4 \Leftrightarrow 512 \le m < 65536\).
Suy ra có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Trường hợp 2: Xét \({3^{{x^2} – x}} – 9 < 0 \Leftrightarrow {x^2} – x < 2 \Leftrightarrow – 1 < x < 2\). Vì \(\left( { – 1\,;\,\,2} \right)\) chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.
Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
