Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(t^{2}+2 t+\frac{7}{4}\right)^{t^{2}-2 t+3} \geq\left(t^{2}+2 t+\frac{7}{4}\right)^{1+t}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(t^{2}+2 t+\frac{7}{4}=\left(t^{2}+2 t+1\right)+\frac{3}{4}=(t+1)^{2}+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}, \forall t \in \mathbb{R}\)
Ta chia thành các trường hợp:
+TH1:\(t^{2}+2 t+\frac{7}{4}=1 \Leftrightarrow t^{2}+2 t+\frac{3}{4}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=-\frac{1}{2} \\ t=-\frac{3}{2} \end{array}\right.\)
Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 1 là: \(T_{1}=\left\{-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}\right\}\)
+TH2: \(\frac{3}{4} \leq t^{2}+2 t+\frac{7}{4}<1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} t^{2}+2 t+1 \geq 0 \\ t^{2}+2 t+\frac{3}{4}<0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} t \in \mathbb{R} \\ t \in\left(-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}\right) \end{array} \Leftrightarrow t \in\left(-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}\right)\right.\right.\)
Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với:
\(t^{2}-2 t+3 \leq 1+t \Leftrightarrow t^{2}-3 t+2 \leq 0 \Leftrightarrow t \in[1 ; 2]\)
So với điều kiện thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 2 là \(T_{2}=\varnothing\)
+TH3: \(t^{2}+2 t+\frac{7}{4}>1 \Leftrightarrow t^{2}+2 t+\frac{3}{4}>0 \Leftrightarrow t \in\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right) \cup\left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right)\)
Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với:
\(t^{2}-2 t+3 \geq 1+t \Leftrightarrow t^{2}-3 t+2 \geq 0 \Leftrightarrow t \in(-\infty ; 1] \cup[2 ;+\infty)\)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 3 là \(T_{3}=\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right) \cup\left(-\frac{1}{2} ; 1\right] \cup[2 ;+\infty)\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là:
\(T=T_{1} \cup T_{2} \cup T_{3}=\left\{-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}\right\} \cup \varnothing \cup\left(\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right) \cup\left(-\frac{1}{2} ; 1\right] \cup[2 ;+\infty)\right)=\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right] \cup\left[-\frac{1}{2} ; 1\right] \cup[2 ;+\infty)\)
