Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\sin \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2} \cos ^{3} \frac{A}{2}\) là tam giác gì?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\sin \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2} \cos ^{3} \frac{A}{2}(1)\\ &\text { Chia cả hai vế của (1) cho } \cos ^{3} \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2} \neq 0, \text { ta có }\\ &\begin{aligned} & \tan \frac{A}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}\right)=\tan \frac{B}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{B}{2}\right) \\ \Leftrightarrow & \tan \frac{A}{2}+\tan ^{3} \frac{A}{2}-\tan \frac{B}{2}-\tan ^{3} \frac{B}{2}=0 \\ \Leftrightarrow &\left(\tan \frac{A}{2}-\tan \frac{B}{2}\right)\left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan ^{2} \frac{B}{2}\right)=0(2) \end{aligned} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } 1+\tan ^{2} \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan ^{2} \frac{B}{2}>1 \text { nên từ }(2) \text { có } \\ &\frac{A}{2}-\frac{B}{2}=0 \Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B} \end{aligned}\)
Vậy ABC là tam giác cân đỉnh C.
