Họ nguyên hàm của hàm số \( \int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\( \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Do đó, ta cần biến đổi
\( \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}}\) để tính được nguyên hàm.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}} = \frac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}\\ { = \frac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \end{array}\\ \Rightarrow \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{(a + 2b)x - a + b}}{{(2x + 1)(x - 1)}}\\ \to \left\{ \begin{array}{l} a + 2b = 2\\ - a + b = 3 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 4}}{3}\\ a = \frac{5}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\smallint \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx = \smallint \left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{3}.\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx}\\ { = - \frac{4}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx + \frac{5}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx}\\ { = - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C = - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C} \end{array}\)
