Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\begin{equation} \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C . \end{equation}\) Nguyên hàm của hàm số \(\begin{equation} f(2 x) \text { trên tập } \mathbb{R}^{+} \end{equation}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Đặt } t=\sqrt{x+1} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+1}}=2 \mathrm{~d} t \\ \text { Khi đó } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\int 2 f(t) \mathrm{d} t \\ \text { Mà } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C \text { nên } \int 2 f(t) \mathrm{d} t=\frac{2(t+3)}{t^{2}+4}+C \end{array} \end{equation}\)
Khi đó:
\(\begin{equation} \begin{aligned} & \int f(t) \mathrm{d} t=\frac{t+3}{t^{2}+4}+C \\ \Leftrightarrow & \int f(2 t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 t+3}{4 t^{2}+4}+C \\ \Leftrightarrow & \int f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{2 x+3}{4\left(x^{2}+1\right)}+C . \end{aligned} \end{equation}\)
