Họ nguyên hàm của hàm số \(\begin{equation} f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \text { là } \end{equation}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có } \int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \mathrm{~d} x \text { . }\\ \text { Đặt } t=\sqrt{x^{3}+1} \Rightarrow t^{2}=x^{3}+1 \Rightarrow 2 t \mathrm{~d} t=3 x^{2} \mathrm{~d} x \Rightarrow x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} \mathrm{td} t \text { . }\\ \text { Theo cách đặt ta có } \Rightarrow \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} \int t^{-1} \cdot t \mathrm{~d} t=\frac{2}{3} \int \mathrm{d} t=\frac{2}{3} t+C \text { . }\\ \text { Từ }(2) \Rightarrow \int f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}+1}+C .\\ \text { Vậy } \int f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}+1}+C \text { . } \end{array}\)
