Một nguyên hàm của \(\;f\left( x \right)\; = \;x.\ln x\) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\ln xdx} \)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\)
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\ln x - \frac{1}{2}\int {xdx} = \frac{1}{2}{x^2}\ln x - \frac{1}{4}{x^2} + C\)
Theo bài ta có:
\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.1.\ln 1 - \frac{1}{4}{.1^1} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{4}\)
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\ln x - \frac{1}{4}{x^2} + C\)
