Giao thoa sóng ở mặt nước với hai nguồn kết hợp tại A và B. Hai nguồn dao động điều hòa theo phương thẳng đứng, cùng pha và cùng tần số 10 Hz. Biết AB = 20 cm, tốc độ truyền sóng ở mặt nước là 0,3 m/s. Trên mặt nước, gọi D là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và hợp với AB một góc 600. Trên D có bao nhiêu điểm mà các phần tử ở đó dao động với biên độ cực đại?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBước sóng của sóng lan truyền: \(\lambda =\frac{v}{f}=\frac{30}{10}=3\text{ cm}\text{.}\)
Số đường cực đại có trong đoạn AB:
\(-\frac{\text{AB}}{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}\le \text{k}\le \frac{\text{AB}}{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}\Rightarrow -\text{6,7}\le \text{k}\le \text{6,7}\Rightarrow \text{k}\in \left\{ 0;\pm \text{1};\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5;\pm 6 \right\}.\)
Ta có: \(\text{IA}=\text{IB}=10,\text{ IH}=\frac{\text{MH}}{\text{tan6}{{\text{0}}^{\text{0}}}}~=\frac{\text{x}}{\text{tan6}{{\text{0}}^{\text{0}}}}=\frac{\text{x}}{\sqrt{\text{3}}}.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{HB}=10-\text{IH}=10-\frac{\text{x}}{\sqrt{\text{3}}} \\ \text{HA}=10+\text{IH}=10+\frac{\text{x}}{\sqrt{\text{3}}} \\ \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{d}}_{\text{2}}}={{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{H}{{\text{B}}^{\text{2}}}=\sqrt{{{\text{x}}^{\text{2}}}+{{\left( 10-\frac{\text{x}}{\sqrt{\text{3}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100} \\ {{\text{d}}_{\text{1}}}={{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{H}{{\text{A}}^{\text{2}}}=\sqrt{{{\text{x}}^{\text{2}}}+{{\left( 10+\frac{\text{x}}{\sqrt{\text{3}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100} \\ \end{array} \right.\)
Điều kiện tại M dao động với biên độ cực đại: \({{\text{d}}_{\text{1}}}-{{\text{d}}_{\text{2}}}=\text{k }\!\!\lambda\!\!\text{ }\text{.}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{20}{\sqrt{3}}x+100}-\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100}=\text{k }\!\!\lambda\!\!\text{ }\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100}=\text{k }\!\!\lambda\!\!\text{ }+\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100}\)
Bình phương hai vế, thế λ = 3 cm vào:
\(\Rightarrow \frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100=\text{9}{{\text{k}}^{\text{2}}}+\text{6k}\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100}+\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100\)
\(\Leftrightarrow \frac{\text{40}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}-\text{9}{{\text{k}}^{\text{2}}}=\text{6k}\sqrt{\frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100}\)
Tiếp tục bình phương hai vế:
\(\Rightarrow \frac{\text{1600}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{720}}{\sqrt{\text{3}}}{{\text{k}}^{\text{2}}}\text{.x}+\text{81}{{\text{k}}^{\text{4}}}=\text{36}{{\text{k}}^{\text{2}}}\left( \frac{\text{4}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{20}}{\sqrt{\text{3}}}\text{x}+100 \right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{\text{1600}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{720}}{\sqrt{\text{3}}}{{\text{k}}^{\text{2}}}\text{.x}+\text{81}{{\text{k}}^{\text{4}}}=\text{48}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\frac{\text{720}}{\sqrt{\text{3}}}{{\text{k}}^{\text{2}}}\text{.x}+\text{3600}{{\text{k}}^{\text{2}}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\text{1600}}{\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\text{48}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}=\text{3600}{{\text{k}}^{\text{2}}}-\text{81}{{\text{k}}^{\text{4}}}\)
\(\Rightarrow {{\text{x}}^{\text{2}}}=\frac{\text{3600}{{\text{k}}^{\text{2}}}-\text{81}{{\text{k}}^{\text{4}}}}{\frac{1600}{3}-\text{48}{{\text{k}}^{\text{2}}}}.\)
Ta có bảng giá trị như sau:
|
k |
0 |
± 1 |
±2 |
± 3 |
± 4 |
± 5 |
±6 |
|
x2 |
0 |
7,25 |
38,39 |
254,99 |
-157.09 |
-59,06 |
-20,61 |
Ta thấy k = {0; ±1; ±2; ±3} thì x2 > 0. Vậy điểm M xa nhất dao động với biên độ cực đại vẫn thuộc đường thẳng Δ thuộc đường cực đại giao thoa có k = ±3.
Vậy trên Δ có 7 điểm dao động với biên độ cực đại.
