Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|=2 \sqrt{2} \text { và }(z-1)^{2}\) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=a+b i,(a, b \in \mathbb{R})\\ &\text { Ta có }(z-1)^{2} \text { là số thuần ảo } \Leftrightarrow(a-1+b i)^{2}=(a-1)^{2}-b^{2}+2 b(a-1) i \text { là số thuần ảo }\\ &\Leftrightarrow(a-1)^{2}-b^{2}=0 \Leftrightarrow(a-1)^{2}=b^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a-1=b \\ a-1=-b \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=b+1 \\ a=1-b \end{array}\right.\right.\\ &|z+2-i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow|a+b i+2-i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow|(a+2)+(b-1) i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { TH1: } a=b+1\\ &\text{Ta có}\\ &(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow(b+3)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow b^{2}+2 b+1=0 \Leftrightarrow b=-1 \Rightarrow a=0 \Rightarrow z_{1}=-i \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { TH2: } a=1-b\\ &\text { Ta có }(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow(3-b)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow b^{2}-4 b+1=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} b=2+\sqrt{3} \Rightarrow a=-1-\sqrt{3} \\ b=2-\sqrt{3} \Rightarrow a=-1+\sqrt{3} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} z_{2}=-1-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3}) i \\ z_{3}=-1+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3}) i \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(3 z^{2}-z+2=0 . \text { Tính }\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\)
-
Cho số phức z = 1 - 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ?
-
Phương trình \(x^{2}+4 x+5=0\) có nghiệm phức mà tổng các mô đun của chúng bằng?
-
Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) . Giá trị của \(\left(z_{1}-1\right)^{2018}+\left(z_{2}-1\right)^{2018}\) bằng
-
Cho số phức z thỏa \((3+2 i) z=7+5 i\) . Số phức liên hợp \(\overline z\) của số phức z là
-
Tính \(z=(2 i-1)(3-i)(6-i)\)
-
Cho n,k∈N, biết in = −1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: \(\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right|\), gọi số phức \(z = a + b{\rm{i}}\) là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính S = 2a + b.
-
Cho hai số phức \({z_1}\,,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|\).
-
Tìm các số thực a và b thỏa mãn \(2 a+(b+i) i=1+2 i\) với i là đơn vị ảo.
-
Cho hai số phức \(z_{1}=2-2 i, z_{2}=-3+3 i\) . Khi đó số phức \(z_{1}-z_{2}\) là
-
Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức \( \frac{1}{{\overline z }}\) với z = 5 - 3i. Tính tổng S = a + b.
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(|z|=2\). Số phức \(\mathrm{w}=z+3 i\) có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt
là m và M . Tổng M+m bằng -
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| {z – 1} \right|^2} + \left| {z – \overline z } \right|i + \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = 1\)?
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z = 5 – 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là.
-
Tập nghiệm S của phương trình \((\sqrt{2}-i \sqrt{3}) z+i \sqrt{2}=\sqrt{3}+2 i \sqrt{2}\) trên tập số phức là:
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3 i|=\sqrt{13}\) và \(\frac{z}{z+2}\) là số thuần ảo?
-
Rút gọn biểu thức \(M = (1- i )^{2018}\) ta được
-
Phương trình (1+2i)x = 3x-i cho ta nghiệm:
