Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|=2 \sqrt{2} \text { và }(z-1)^{2}\) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=a+b i,(a, b \in \mathbb{R})\\ &\text { Ta có }(z-1)^{2} \text { là số thuần ảo } \Leftrightarrow(a-1+b i)^{2}=(a-1)^{2}-b^{2}+2 b(a-1) i \text { là số thuần ảo }\\ &\Leftrightarrow(a-1)^{2}-b^{2}=0 \Leftrightarrow(a-1)^{2}=b^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a-1=b \\ a-1=-b \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=b+1 \\ a=1-b \end{array}\right.\right.\\ &|z+2-i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow|a+b i+2-i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow|(a+2)+(b-1) i|=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { TH1: } a=b+1\\ &\text{Ta có}\\ &(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow(b+3)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow b^{2}+2 b+1=0 \Leftrightarrow b=-1 \Rightarrow a=0 \Rightarrow z_{1}=-i \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { TH2: } a=1-b\\ &\text { Ta có }(a+2)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow(3-b)^{2}+(b-1)^{2}=8 \Leftrightarrow b^{2}-4 b+1=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} b=2+\sqrt{3} \Rightarrow a=-1-\sqrt{3} \\ b=2-\sqrt{3} \Rightarrow a=-1+\sqrt{3} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} z_{2}=-1-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3}) i \\ z_{3}=-1+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3}) i \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
