Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [- 2020;2020) ] sao cho phương trình \( {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{{.2}^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0}\) có bốn nghiệm phân biệt?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\begin{array}{*{20}{l}} {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{{.2}^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0}\\ { \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{{.2}^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0}\\ { \Leftrightarrow {{4.4}^{{x^2} - 2x}} - 4m{{.2}^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0} \end{array}\)
Đặt \( t = {2^{{x^2} - 2x}}\) Ta có:
\( {x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge - 1 \Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành
\( 4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\) với \( t \ge \frac{1}{2}\)
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm tt phân biệt thỏa mãn \( t > \frac{1}{2}\)
\( \to \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ {t_1} + {t_2} > 1\\ \left( {{t_1} - \frac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} - 4(3m - 2) > 0\\ m > 0\\ \frac{{3m - 2}}{4} - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4} > 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} - 12m + 8 > 0\\ m > 0\\ 3m - 2 - 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < 1 \end{array} \right.\\ m > 0\\ m > 1 \end{array} \right. \to m > 2\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta có m∈(2;2020]
Vậy có 2020−3+1=2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
