Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({2.2^x} + x + {\sin ^2}y \le {2^{{{\cos }^2}y}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({2.2^x} + x + {\sin ^2}y \le {2^{{{\cos }^2}y}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} + x + 1 \le {2^{{{\cos }^2}y}} + {\cos ^2}y\). (1)
Đặt \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\).
Suy ra hàm số \(y = f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Suy ra \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) \le f\left( {{{\cos }^2}y} \right) \Leftrightarrow x + 1 \le {\cos ^2}y \Leftrightarrow x \le – {\sin ^2}y \Rightarrow x \le 0\) vô lí.
Vậy không tồn tại cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) nào thỏa mãn đề bài.
