Biết \(\left( {x;y} \right)\) là cặp nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{{\log }_x}\left( {y – x – 5} \right) – 1} \right)\left( {{{\log }_x}y – 1} \right) > 0\) thỏa mãn y < x + 10, hỏi hiệu số y – x lớn nhất bằng bao nhiêu:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y – x – 5 > 0\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y > x + 5\end{array} \right.\)
Suy ra \({\log _x}y > 1\)
Suy ra \(\left( {{{\log }_x}\left( {y – x – 5} \right) – 1} \right)\left( {{{\log }_x}y – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y – x – 5 > 0\\{\log _x}\left( {y – x – 5} \right) – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y > x + 5\\y – x – 5 > x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y > 2x + 5\end{array} \right.\)
Theo giả thiết y < x + 10 suy ra \(2x + 5 < y < x + 10 \Rightarrow x \le 3 \Rightarrow x \in \left\{ {2;3} \right\}\)
Với \(x = 2 \Rightarrow 9 < y < 12 \Rightarrow y \in \left\{ {10;11} \right\}\)
Với \(x = 3 \Rightarrow 11 < y < 13 \Rightarrow y \in \left\{ {12} \right\}\)
Trong các cặp \(\left( {x;y} \right)\) ta thấy hiệu y – x = 9 là lớn nhất.
