Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}(x + y)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBất phương trình đã cho tương đương \({\log _3}(x + y) – {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \le 0\) (1)
Xét hàm số \(f(y) = {\log _3}(x + y) – {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).
Tập xác định \(D = ( – x\,; + \infty )\).
Với mọi \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \({x^2} \ge x\) nên \(f'(y) = \frac{1}{{(x + y)\ln 3}} – \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall x \in D\)
\( \Rightarrow f(y)\) đồng biến trên khoảng \(( – x\,; + \infty )\).
Do y là số nguyên thuộc \(( – x\,; + \infty )\) nên \(y = – x + k,\,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Giả sử y = – x + k là nghiệm của bất phương trình (1) thì \(f(y) = f( – x + k) \le 0\).
Mà \( – x + 1 < – x + 2 < \,…\, < – x + k\) và f(y) đồng biến trên khoảng \(( – x\,; + \infty )\), suy ra \(f( – x + 1) < f( – x + 2) < \,…\, < f( – x + k) \le 0\), nên các số nguyên \( – x + 1,\,\, – x + 2,\,\,…\,,\,\, – x + k\) đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có k số nguyên y thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi x.
Để có không quá 728 số nguyên y thì \(f( – x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 – {\log _4}\left( {{x^2} – x + 729} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – x – 3367 < 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {13469} }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt {13469} }}{2}\)
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { – 57,\,\, – 56,\,\,…,\,\,58} \right\}\).
Vậy có 116 số nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.
