Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(x \le 2020\) và \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2 \Leftrightarrow {3.9^y} + 6y \le x + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right) – 2\)
\( \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 3\left( {2y + 1} \right) \le \left( {x + 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right)\). (*)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) có \(f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 3 > 0,{\rm{ }}\forall t\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2y + 1} \right) \le f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right) \Leftrightarrow 2y + 1 \le {\log _3}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} – 1 \le x\).
Vì \(x \le 2020\) nên \({3^{2y + 1}} – 1 \le 2020 \Leftrightarrow y \le \frac{{{{\log }_3}2021 – 1}}{2} \approx 2,9\).
Với giả thiết y nguyên dương suy ra \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Với y = 1 có \(26 \le x \le 2020\) suy ra có 1995 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn .
Với y = 2 có \(242 \le x \le 2020\) suy ra có 1779 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn .
Vậy có tất cả 3774 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài.
