Số cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) nguyên của bất phương trình \({\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{5{x^2} + 2xy + 2{y^2} – 3}} + {\left( {x – y} \right)^2} \le 3\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ \({\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{5{x^2} + 2xy + 2{y^2} – 9}} + {\left( {x – y} \right)^2} \le 3 \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{{{\left( {2x + y} \right)}^2} + {{\left( {x – y} \right)}^2} – 3}} + {\left( {x – y} \right)^2} – 3 \le 0\)(*)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {\left( {2x + y} \right)^2} \ge 0\\b = {\left( {x – y} \right)^2} – 3 \ge – 3\end{array} \right.\) khi đó (*) đưa về: \(a{.2^{a + b}} + b \le 0 \Leftrightarrow a{.2^a} \le \left( { – b} \right){.2^{ – b}}\).
Vì \(a \ge 0 \Rightarrow – b \ge 0\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t{.2^t},{\rm{ }}t \in \left[ {0; + \infty } \right)\) có \(f’\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).
Suy ra \(f\left( a \right) \le f\left( { – b} \right) \Leftrightarrow a \le – b \Leftrightarrow a + b \le 0\).
Suy ra \({\left( {2x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2} – 3 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2} \le 3\).
Với giả thiết x, y là các số nguyên nên \({\left( {2x + y} \right)^2}\) và \({\left( {x – y} \right)^2}\) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
.png)
Vậy có tất cả 3 cặp nghiệm thỏa mãn.
