Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là

Biết \(\mathop \smallint \nolimits_3^8 \frac{{dx}}{{{x^2} + x}} = {\mkern 1mu} a\ln 2 + b\ln 3\) với a,b,c là các số nguyên. Tính \(S = \sqrt {{a^2} - {b^2}} .\)

Tìm tất cả các giá trị của tham m để phương trình \(\log _{2}^{2}(2 x)-2 m \log _{2}(x)+m-1=0\) có tích
hai nghiệm của phương trình bằng 16. 

Cho phương trình \(4^{x}-4^{1-x}=3\) . Khẳng định nào sau đây sai?

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle {2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16.\sqrt 2 \).

Tìm tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} + 3x} \right) = 2\)

Tìm m để bất phương trình \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgU % caRiGacYgacaGGVbGaai4zamaaBaaaleaacaaI1aaabeaakmaabmqa % baGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaaigdaaiaawI % cacaGLPaaacqGHLjYSciGGSbGaai4BaiaacEgadaWgaaWcbaGaaGyn % aaqabaGcdaqadeqaaiaad2gacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaO % Gaey4kaSIaaGinaiaadIhacqGHRaWkcaWGTbaacaGLOaGaayzkaaaa % aa!4ED5! 1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) thoã mãn với mọi x thuộc R

Cho phương trình \(4{{\log }_{9}}^{2}x+m{{\log }_{\frac{1}{3}}}x+\frac{1}{6}{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}x+m-\frac{2}{9}=0\) ( \(m\)là tham số ). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tổng các nghiệm của phương trình \( {3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\)

Cho \(\mathop \smallint \limits_{ - 3}^{ - 1} f\left( x \right)dx = 1,\mathop \smallint \limits_3^0 f\left( x \right)dx = - 2\). Tính \(\mathop \smallint \limits_0^{ - 1} f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( x \right)dx\)

Tập nghiệm của phương trình \({\log _{2019}}\left( {x – 1} \right) = {\log _{2019}}\left( {2x + 3} \right)\) là

Nếu \({\log _a}x = {\log _a}3 – {\log _a}5 + {\log _a}2\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) thì x bằng.

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \( {\log _5}\left( {\frac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T=a^2+b^2\)

Tập nghiệm của phương trình \(\begin{aligned} \left(\frac{1}{7}\right)^{x^{2}-2 x-3}=7^{x+1} \end{aligned}\)

Cho \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{a}} \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx\) với giá trị nguyên nào của aa thì \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{a}} \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx = \ln 2?\)

Nghiệm của phương trình \(\displaystyle {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\) là:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({{5}^{\sqrt{x+2}-x}}-5m=0\) có nghiệm thực.

Hàm số \(F\left( x \right) = {\log _2}\left( {1 + {x^2}} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\log _{2}\left(x^{2}-2 x-3\right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\log _{2}\left(2^{x}-1\right)=-2\) bằng

Số nghiệm của phương trình là \(\log _{3}(2 x+1)-\log _{3}(x-1)=1\)