Cho x y , là các số thực dương thỏa \(\log _{9} x=\log _{6} y=\log _{4}\left(\frac{x+y}{6}\right) . \text { Tính tỉ số }\frac{x}{y}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\log _{9} x=\log _{6} y \Rightarrow y=6^{\log _{9} x}=(2.3)^{\frac{1}{2} \log _{3} x}=2^{\frac{1}{2} \log _{3} x} \cdot 3^{\frac{1}{2} \log _{3} x}=\left(x \cdot 2^{\log _{3} x}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(\begin{aligned} &\frac{y}{x}=\frac{\left(x \cdot 2^{\log _{3} x}\right)^{\frac{1}{2}}}{x}=\left(\frac{2^{\log _{3} x}}{x}\right)^{\frac{1}{2}}\,\,\,\,\,\,(1)\\ &\log _{9} x=\log _{4}\left(\frac{x+y}{6}\right) \Rightarrow \frac{x+y}{6}=4^{\log _{9} x}=2^{\log _{7} x} \Rightarrow y=6.2^{\log _{3} x}-x\\ &\frac{y}{x}=\frac{6.2^{\log _{3} x}-x}{x}=6 . \frac{2^{\log _{3} x}}{x}-1\,\,\,\,(2) \end{aligned}\)
Từ (1) và (2) \(6 \cdot \frac{2^{\log _{3} x}}{x}-1=\left(\frac{2^{\log _{3} x}}{x}\right)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow\left(\frac{2^{\log _{3} x}}{x}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{x}{y}=2\)
