Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B, C lần lượt lấy D, E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho \(BD = a\frac{{\sqrt 3 }}{2},CE = a\sqrt 3 \). Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(\varphi = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ADE} \right)} \right)\).
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Mặt khác, ta có:
\(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
\(AE = \sqrt {A{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
Gọi F là trung điểm EC, ta có DF = BC = a.
Do đó \(DE = \sqrt {D{F^2} + F{E^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Suy ra tam giác ADE cân tại D.
Gọi H là trung điểm AE, ta có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - {a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}DH.AE = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ADE}}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {60^o}\).
