Cho \(z_{1}, z_{z}\) là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn \(\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}} \in \mathbb{R} \text { và }\left|z_{1}-z_{2}\right|=2 \sqrt{3}\). Tính môđun
của số phức z1.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Gọi } z_{1}=a+b i \Rightarrow z_{2}=a-b i ;(a \in \mathbb{R} ; b \in \mathbb{R})\)
Không mất tính tổng quát ta gọi \(b\ge0\)
\(\begin{aligned} &\text { Do }\left|z_{1}-z_{2}\right|=2 \sqrt{3} \Rightarrow|2 b i|=2 \sqrt{3} \Rightarrow b=\sqrt{3} \text { . }\\ &\text { Do } z_{1}, z_{2} \text { là hai số phức liên hợp của nhau nên } z_{1} \cdot z_{2} \in \mathbb{R}, \operatorname{mà} \frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{z_{1}^{3}}{\left(z_{1} z_{2}\right)^{2}} \in \mathbb{R} \Rightarrow z_{1}^{3} \in \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Ta có: } z_{1}^{3}=(a+b i)^{3}=\left(a^{3}-3 a b^{2}\right)+\left(3 a^{2} b-b^{3}\right) i \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 3 a^{2} b-b^{3}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} b=0 \\ 3 a^{2}=b^{2} \end{array} \Rightarrow a^{2}=1\right.\\ &\text { Vậy }\left|z_{1}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2 \end{aligned}\)
